Te diré que empezaste bastante mal ya que a la firma del contrato que ahora no te quieren firmar se debe entregar la fianza y el alquiler del primer mes, y por la otra parte se dan las llaves, en realidad te han puesto en una disyuntiva ya que no puedes reclamar porque no existe ningùn contrato firmado y por la otra te están ocupando un piso que encima les va a salir gratis, al menos de momento, mi consejo es que cuanto antes ponte en  manos de un abogado especialista.

Para próximas veces... se puede firmar el contrato indicando una fecha posterior a la firma ( por ejemplo, a dia tal se firma tal contrato siendo vigente a partir del día tal).

La fianza debería haberla depositado en el organismo autónomo competente de su comunidad.

Si no atienden a sus peticiones deberá instar un procedimiento de desahucio. Le aconsejo q se dirija a un abogado y empiece a hacer los pasos necesarios para ello, y que le asesore en las siguientes comunicaciones con los hijos de la señora, o que la señora le firme el contrato. Para evitarse futuros problemas déjese asesorar por un profesional, pq puede encontrarse con problemas del tipo " ese señor era amigo de mi madre y nos dijo que podía irse a vivir ahí"