El propietario no está obligado a alquilar el piso con nevera, ni lavadora ni lavavajillas.

Si el propietario tuvo la gentileza de dejarlos en el piso para un uso apropiado del inquilino, creo que no está obligado ni a repararlos ni a sustituirlos.

Parto de la base de que el contrato de alquiler es un piso sin amueblar, dado de que cita que lleva en el piso 5 años.

Además el propietario tampoco está obligado a alquilar el piso con los servicios dados de alta. Si lo hace así, es de nuevo una gentileza hacia el inquilino que se ahorra los gastos y molestias de contratarlos.

Entiendo que si el propio casero reconoce que es "por vieja" debe hacerse cargo de su sustitución.
¿Cómo? Una solución es requerirle fehacientemente para ello anunciándole que se va a proceder a sustituirla y cargar su importe contra los recibos mensuales.

Si, pero la cuestión es: cómo se demuestra si una avería es de uso o de vieja? La mía tiene 10 años e iba perfectamente. Ahora, tras dos meses, no enfria la parte superior y el inquilino dice que es por vieja y que yo la repare.

Es legal?

Hay que determinar primero si los electrodomésticos dejaron de funcionar por antigüedad o si el uso que tú hiciste de ellos influyó para que se estropearan. Te digo esto porque tú, como inquilina, eres responsable de arreglar los pequeños desperfectos que se produzcan en la vivienda por su uso diario y el casero es responsable de hacer todas las obras de mantenimiento necesarias para mantener la habitabilidad de la misma.

En definitiva, si, como dices, los electrodomésticos se han agotado de viejos, le corresponde al casero reponerlos.