Hombre, mientras que te cuiden las cosas, debería dar igual si tienen mascota o no.

Haz fotos y firmadlas las dos partes como prueba de como se entregó el piso y lo que hay en él.

El seguro también está bien. En principio todas las casas (no estoy segura de si para las alquiladas es obligatorio, creo que sí) deberían tenerlo.
Los gastos del seguro son negociables (en la LAU no se especifica que el casero o inquilino tenga que pagarlo), así que quizás puedas hablarlo con ellos.

Pero indicarte que una cosa es el seguro de la casa y otra cosa es el seguro de impago. Los dos están muy bien, pero para que una compañía acepte hacer un seguro de impago, tiene que dar el visto bueno a los inquilinos. Ellos tendrán que entregar nóminas y una serie de documentación. Vamos, que si la compañía no comprueba que pueden pagar, no aseguran el impago (irónico, verdad???)

Y tendrías que pagar algo más por tener ese seguro (el de impago).

De todas formas, cada compañía trabaja de una forma. Si al final piensas en lo del seguro (para la casa, de impago o lo que sea), habla con varias compañías a ver lo que te dicen.

Supongo que eso que dicen debe figurar muy claramente en contrato, descripción del estado de los muebles y la casa al inicio. Haz fotos si lo crees necesario. Puedes pedirles alguna garantía adicional a la fianza, por lo que comentas parece que estarían dispuestos, también puedes pedirles que contraten una póliza de seguro de responsabilidad civil y te la muestren cuando la contraten y la renovación anual. También puedes decirles que vas a contratar un seguro de alquiler, cubriría esos desperfectos en el caso que los haya, y que ellos se hagan cargo del pago. Todo esto bien especificado en el contrato. Este supuesto también te beneficiaría a ti en caso de impago o de incumplimiento de contrato. Estos seguros cuestan un 4% de la renta pactada.

Hombre Cañero "pretenderán achacar los desperfectos causados por su perro al uso normal"..., ya estamos hablando con una bola de cristal, estamos prejuzgando: cualquier dueño de una mascota es un inquilino irresponsable y que no cumple y hay inquilinos irresponsable y caseros irresponsables. Tambien hay dueños que educan a sus mascotas. Yo tengo seis gatos desde hace años y todavía no han causado ningún desperfecto, ensucian un poco las ventanas por las que entran y salen pero lo limpio y pinto de vez en cuando que creo es lo normal. Además, tengo contratado un seguro de responsabilidad que cubre los daños que pudiesen causar a terceros.

Yo en tu lugar no alquilaría un piso como el que describes a inquilinos con perro.
Dentro de 3 ó 5 años tendrás disputas con ellos porque pretenderán achacar los desperfectos causados por su perro al uso normal. Y si no hubiera perro, dentro de 3 ó 5 años todo debiera estar como el primer día.
Conozco casas con perro y créeme se nota y mucho.
Aunque tengan un seguro, ¿Quién decide si un mueble lleno de arañazos se "parchea" con un poco de cera de muebles o si hay que sustituirlo por un mueble nuevo?

Repito mi consejo. Busca otros inquilinos o saca tus muebles de ahí (si es posible) y alquila vacío.