Buenos días,
Por partes, la no existencia de contrato escrito no significa que no haya un contrato verbal, que deba cumplir todas las exigencias y garantías de la LAU94.
Por otro lado, si se ha producido algún impago, lo que debe hacer es presentar una demanda de desahucio por impago de la renta, y será el juzgado el que, en caso de ser así, se pronuncie estableciendo una fecha para el lanzamiento (desalojo de la vivienda). No es usted el que debe dar ningún plazo, es el juzgado.
Respecto a los daños en el inmueble, tienen peor solución, será un tema de prueba y valoración en función del tipo de daño del que se trate. 
Un saludo.
PdC Sociedad Inmobiliaria.