Aunque es un caso poco frecuente le puede servir la lectura de esto: ¿Qué pasa si pagas el alquiler en metálico y el casero no te da recibos?

Si no tiene recibos, le puede reclamar (con desahucio o sin él) los meses de cuyo pago no tenga prueba. Haga lo imposible por conseguir una prueba de que ha pagado estos meses. Así no podrán desahuciarle por impago. Y por expiración de plazo tampoco podrán porque como le han dicho, le quedan 2 años.

"No voy a renovar el alquiler porque necesito el piso" es probablemente el pretexto más repetido y más absurdo que puede usar un casero.

No se puede romper un contrato en vigor por "necesidad". Y cuando está por terminar, no es necesario dar razones, sólo avisar en tiempo y forma de que no se renueva. La situación de necesidad está regulada en el 9.3 de la LAU, pero a día de hoy lo que menos he visto es a propietarios utilizándolo correctamente.

Como dice nacho, es un problema que no haya contrato ni justificantes de pago, pero eso también es un problema para el propietario, porque no se puede ganar una demanda por desahucio sin una razón prevista por la ley.

En un caso como éste yo tiraría de grabadora. Una conversación con el propietario, si es en persona mejor, en la que quede claro que el arrendamiento lleva más de seis años de antigüedad, y que el propietario está intentando pasar por encima de los dos años obligatorios que le quedarían.

Está muy bien lo que cita Nacho, el problema que existe es que al no tener recibos del pago del alquiler, el propietario puede desahuciarlos por impago, ya que no tienen como demostrar lo contrario.
Si tuviesen los recibos solo podría rescindir el contrato avisando con un mes de antelación antes de que se cumpliese el año.

El problema es no tener ni el contrato ni los justificantes de pago

Por lo que cuenta parece que tiene un contrato anterior al 6 de Junio de 2013, si es así ,una vez transcurridos como mínimo cinco años de duración, ninguna de las partes hubiese notificado a la otra, al menos con un mes de antelación a aquella fecha, su voluntad de no renovarlo, el contrato se prorrogará obligatoriamente por plazos anuales hasta un máximo de tres años más.
Salvo que el arrendatario manifieste al arrendador con un mes de antelación a la fecha de terminación de cualquiera de las anualidades, su voluntad de no renovar el contrato. Al contrato prorrogado, le seguirá siendo de aplicación el régimen legal y convencional al que estuviera sometido.