En tu pregunta primero dices que alquilaste el piso sin contrato y luego que hicisteis contrato privado.

Un contrato es un acuerdo entre las partes y puede ser verbal o escrito.
Es recomendable hacer contrato escrito porque así están más protegidos los derechos de todos y se puede demostrar más facilmente qué es lo que acordastéis.

Sin embargo, aunque simplemente sea verbal, da igual. Hay contrato porque habéis llegado a un acuerdo. Vamos, que no tienes que estar preocupada por eso.

El que no te paguen o lo hagan fuera del plazo acordado en el contrato puede ser motivo de desahucio. Si quieres que se vayan, habla con ellos a ver si lo consigues por las buenas (que no creo). Y si se niegan tendrás que empezar el proceso de desahucio (ir a juicio).

Estos procesos suelen ser largos y costosos. Antes de recurrir a ellos (o a decirles a tus inquilinos que se marchen), intentaría hacerles comprender que te están haciendo una faena muy grande y también intentaría hablar con el banco para que cambie el día de cobro o a ver si pueden dar otra solución...

Otra posible alternativa, es que les cobres a tus inquilinos intereses por demora. No estoy muy segura de si tendrías que haberlo reflejado en el contrato... Habla con un profesional o espera otras opiniones sobre si se puede hacer esto y cómo.

Conclusión: si quieres demandarles, hazlo, porque puedes hacerlo; pero piensa si te merece la pena. Porque además ten en cuenta que hay algunos inquilinos que dan otra clase de problemas peores que retrasarse en el pago.

Lo que puedes es demandarles.
El que les echará será el juez.
Pero necesitarás abogado y procurador.