Muchas gracias por sus respuestas.

Buenos días,

Para realizar la subrogación del contrato, basta con comunicarle al inquilino por escrito que tú has comprado la vivienda y dónde debe abonar la renta a partir de este momento.
Respecto a la situación del contrato de arrendamiento no inscrito de finca inscrita, tras la reforma de 2013 hay dos corrientes: - Algunos autores, quizás un poco extremistas, opinan que es de aplicación directa el "venta quita renta" del CC, por lo que el contrato existente se extingue "ope legis" (por ministerio de la Ley y de forma automática) con la compra. - Por mi parte, entiendo que se tenderá a matizar en la jurisprudencia y se aplicará analógicamente lo previsto en la LAU para el arrendamiento de finca no inscrita, es decir, subrogación "ope legis" y facultad de resolución a favor del comprador en los tres meses siguientes. Un saludo,
www.desalvador.es info@desalvador.es

En mi opinión lo más sencillo sería que el arrendatario firme una resolución de contrato con el anterior propietario y un nuevo contrato con usted....
Subrogarse es una opción, pero creo que trae "más complicaciones" que lo que le menciono.

Gracias a los dos. La copia del contrato la tengo, claro. 
Entonces me queda conseguir la fianza y subrogar el contrato, pero desconozco como hacer esto último y no encuentro nada al respecto en internet. Le preguntaré a mi notario.
Gracias de nuevo.

Una opción es la mencionada por ximo, la otra sería actuar como si ese contrato no existiera al no quedar subrogado al mismo legalmente y firmar un contrato nuevo.
Por cierto, no es obligatorio inscribir el contrato en el registro de la propiedad (distinto es "el registro de la fianza")..
Un saludo

Tienes que hacer una subrogación al contrato y pedir la documentación y actualizar la parte económica. También tienes que recibir de tu vendedor la fianza, para luego devolverla a la hora de finalizar el contrato. Pide copia del contrato actual para saber en que te has metido.

Gracias por sus respuestas.
El inquilino había renunciado a su derecho de tanteo y retracto, en caso contrario no hubiera firmado la compra.
El contrato no está inscrito en el Registro de la propiedad, pero les he dicho a los inquilinos que voy a respetar el contrato vigente y lógicamente voy a cumplir mi palabra.
La cuestión que me planteo es si debería hacer algún anexo al contrato actual, inscribirlo en el Registro a mi nombre o me vale simplemente con hacer constar estos ingresos en mi declaración de la Renta.
Gracias

Buenos días,
Habría que conocer algún dato más. Ese contrato estaba inscrito en el registro de la propiedad?, tiene intención de subrogarse en el contrato, y por tanto mantener las estipulaciones del mismo?...
Estoy dando por hecho que no existía derecho de tanteo y retracto por parte del arrendatario o que en caso de existir, ha renunciado al mismo.
Un saludo

Me parece que has comprado muy alegremente y sin previo asesoramiento jurídico, podrías tener la desagradable sorpresa de que el inquilino ejerciera los posible derechos que pueda tener sobre la vivienda. Antes de comunicarle nada, acude a un abogado experto en arrendamientos urbanos, para que te asesore.